先日、言葉 言葉 言葉 掲示板へ（はじめて）投稿したのだが、そこでの話題に関連して、言葉さんという方から次のような問題の紹介があった。
水道水から水が流れつづけています。また、９リットルのカップと４リットルのカップが１個ずつ存在します。水が途中で捨てても良いので、最終的に７リットルの水が９リットルカップに残るようにするにはどうすれば良いか。
このような数学パズル的問題は好きなので、さっそく考えてみたところ、暫くして次のような答えを思いついた。
……取り敢えず思いついた有効そうな方法をどんどん進めていけば解答に辿りついた、という感じで、クイズとしては少々物足りないような気も。もっとエレガントな解答があるのかもしれません（とか書いてる途中に、satoshiiさんよりもっと簡潔な解答が投稿されてました）。
ところでこの二つのカップでは7L以外でも量れないものだろうか、と考えてみると、上の文を見てたら1Lから8Lまでどれでも量れることに気付いた。1,2,5,6,7Lは既に上記に出ており、4,8Lは4Lカップを使えばすぐできるし、3Lは上記の続きをもう一手間やるだけだ。
では9Lと4Lのカップ以外ではどうか。例えば9Lと5Lだと、上記のような手続きを繰り返せばやはり1〜8Lまでどれでも量れ、11Lと4Lでも同様に1〜11Lまで量れた。
しかし10Lと4Lではどうか。この場合、単位を1Lでなく2L、つまり5・2L、2・2Lと考えれば、問題は本質的に5Lと2Lの場合と同じになる。この二つのカップから0.5Lを量ることは……（汗）……ちょっと無理っぽいので、10Lと4Lでは1〜10Lまで全てを量るのは無理そうだ。9Lと3Lでも同じことが言えるだろう。
以上のことから、この水汲み問題は次のように一般化できそうだ。
命題：m,n,xを自然数とする。十分な量の水があり、またmLとnLの二つのカップがある。汲んだ水は捨ててもよい。この場合、mとnが互いに素であるならば、mL以下の任意のxLの水を量りとることができる。
mとnが互いに素というのは、mとnに1以外の最大公約数が存在しないことです。
果たしてこの命題は真か偽か？ それを解く楽しみは皆様方のためにとっておくと致しましょう（とごまかす）。
先の投稿文で、言葉さんは元の問題に続けて、「まさに、言葉と表現の関係は、このパズルのようなものであろうと思います
」……と締めているのだが、その
（2001年11月4日）
北村曉 kits@akatsukinishisu.net